루트 2 ($\sqrt{2}$)는 다음과 같이 정의합니다.
$\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$를 만족시키는 양의 실수유클리드 (에우클레이데스) 가 이미 2000년도 더 전에 $\sqrt{2}$가 귀류법으로 무리수 임을 증명했습니다. (유리수라고 쳤을 때 오류가 발견 -> 유리수인거 자체가 문제 -> 무리수 이다)
루트 2가 유리수 이면 서로소 인 두 정수 $p$, $q$에 대해 $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$로 쓸 수 있다.
양변을 제곱하면 $2 = \frac{p^{2}}{q^{2}}$이고, 따라서 $2 q^{2} = p^{2}$이다.
$p$를 보면 홀수의 제곱수 는 홀수이고, 짝수의 제곱수는 짝수이다. 좌변이 짝수이므로 우변도 짝수이다. 따라서 $p$는 짝수이다.
$p$가 짝수이면 $p = 2r$ ($r$은 정수) 로 둘 수 있고, $2 q^{2} = p^{2} = 4 r^{2}$이다.
따라서 $q^{2} = 2 r^{2}$이고, $p$가 짝수인 것을 보인 것처럼 $q$도 짝수임을 보일 수 있다.
$p$, $q$가 모두 짝수이면 공약수 $2$를 가지니 서로소라는데에 모순이다. 따라서 $\sqrt{2}$는 유리수가 아니다. (무리수이다.)
현대 대수 내용
해석학 내용 내용