겔폰트 슈나이더 상수의 제곱근 $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$에 대해
1. $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$가 무리수라면?
${\sqrt{2}^{\sqrt{2}}}^{\sqrt{2}} = \sqrt{2}^{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \sqrt{2}^{2} = 2$에서, 무리수의 무리수 제곱 ($\sqrt{2}$가 무리수) 이 유리수 $2$이므로, 무리수의 무리수 제곱이 유리수일 수 있다.
2. $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$가 유리수라면?
그 자체가 무리수 $\sqrt{2}$의 무리수 $\sqrt{2}$제곱인데 그가 유리수라면 무리수의 무리수 제곱이 유리수가 될 수 있다.

겔폰트-슈나이더 정리에 따라 초월수이고, 따라서 자연스럽게 무리수가 됨.

겔폰트-슈나이더 정리에 따라 초월수이다.