브라마굽타 - 피보나치 항등식 (Brahmagupta—Fibonacci Identity) 은 다음과 같습니다.
$$ \left( a^{2} + b^{2} \right) \left( c^{2} + d^{2} \right) = {(ac + bd)}^{2} + {(ad - bc)}^{2} $$페르마의 두 제곱수 정리 를 일반 합성수 범위까지 확장할 때 사용됩니다.
증명의 스케치
항 별로 일일이 풀어서 비교...
좌변 $f$를 풀면 $$ f(a, b, c, d) = {(ac)}^{2} + {(ad)}^{2} + {(bc)}^{2} + {(bd)}^{2} $$ 우변 $g$를 풀면 $$ g(a, b, c, d) = {(ac)}^{2} + 2acbd + {(bd)}^{2} + {(ad)}^{2} - 2adbc + {(bc)}^{2} \\ = {(ac)}^{2} + {(ad)}^{2} + {(bc)}^{2} + {(bd)}^{2} + 2acbd - 2adbc $$ 이고, $acbd = adbc$이므로 $2acbd - 2adbc = 0$, 따라서 $g(a, b, c, d) = {(ac)}^{2} + {(ad)}^{2} + {(bc)}^{2} + {(bd)}^{2}$
$$ f(a, b, c, d) = {(ac)}^{2} + {(ad)}^{2} + {(bc)}^{2} + {(bd)}^{2} = g(a, b, c, d) $$ 에서, $f$와 $g$는 같다.