$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$의 양 변에 자연로그함수 $\ln{x}$를 씌우면 $$ \ln{\left(f(x)\right)} = \ln{\left(g(x)\right)} - \ln{\left(h(x)\right)} $$이고, 로그 미분법 에 의해 $$ \frac{f '(x)}{f(x)} = \frac{g '(x)}{g(x)} - \frac{h '(x)}{h(x)} $$이다.
양 변에 $f(x)$를 곱해주어 $$ f '(x) = f(x) \times \left(\frac{g '(x)}{g(x)} - \frac{h '(x)}{h(x)}\right) $$ 라 할 수 있고, $f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$이므로 식 정리를 해주면 $$ f '(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{{\left\{h(x)\right\}}^{2}} $$이다.

$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} = g(x) \left\{ h(x) \right\}^{-1}$이라 할 수 있고, $p(x) = x^{-1}$이면 다항함수의 미분 에 의해 $p'(x) = - x^{-2}$이고, $$ f(x) = g(x) \left\{ h(x) \right\}^{-1} = g(x)p(h(x)) $$ 에서 곱의 미분법 과 미분의 연쇄법칙 에서 $$ f'(x) = g'(x)p(h(x)) + g(x)p'(h(x))h'(x) $$ 이다.
식 정리를 해주면 $$ g'(x)p(h(x)) + g(x)p'(h(x))h'(x) = \frac{g'(x) h(x) - g(x) h'(x)}{{\left\{h(x)\right\}}^{2}} $$ 인 것을 알 수 있다.