다음과 같은 경우를 수열이 수렴 (Converge) 한다고 합니다.
임의의 양의 실수 $\epsilon$에 대하여, $n \geq N$인 모든 자연수 $n$에 대해 $$ | a_{n} - a | < \epsilon $$이 되게 하는 $N$이 존재하면, 수열 $\left\{ a_{n} \right\}$이 $a$로 수렴한다고 하고, $\lim\limits_{n \to \infty} a_{n} = a$라 한다.$|x|$는 절댓값 함수 입니다.
Ex 1.
$$ \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 $$
임의의 양의 실수 $\epsilon$에 대하여 $n \geq N$인 자연수 $n$에 대해 $\left| \frac{1}{n} - 0 \right| = \frac{1}{n} < \epsilon$을 만족하는 $N$을 찾으면 된다.
아르키메데스 성질 에 의해 $N_{\epsilon} \epsilon > 1$인 자연수 $N_{\epsilon}$이 존재한다.
따라서 $n \geq N_{\epsilon}$인 모든 자연수 $n$에 대해 $\frac{1}{n} < \epsilon$을 만족하므로, $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$이다.
특징 1. 두 수열의 합 $\left\{a_{n} + b_{n}\right\}$은 수렴하고, 수렴값은 두 수열의 수렴값의 합인 $$ \lim\limits_{n \to \infty} \left( a_{n} + b_{n} \right) = A + B $$ 이다.
특징 2. 두 수열의 곱 $\left\{a_{n} b_{n}\right\}$은 수렴하고, 수렴값은 두 수열의 수렴값의 곱인 $$ \lim\limits_{n \to \infty} \left( a_{n} b_{n} \right) = AB $$ 이다.
특징 3. $a_{n} \leq b_{n}$이면 $$ A \leq B $$ 이다.
특징 4. $A \not= 0$이면 수열 $\left\{a_{n}\right\}$의 역수 수열 $\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\}$은 수렴하고, 수렴값은 $A$의 역수인 $$ \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{1}{a_{n}} \right) = \frac{1}{A} $$ 이다.
특징 5. 어떤 자연수 $k$에 대하여 수열 $\left\{a'_{n}\right\}$이 $a'_{n} = a_{n + k}$라면 $$ \lim\limits_{n \to \infty} a'_{n} = A $$ 이다.
Ex 2.
$$ \lim\limits_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + n} - n \right) = \frac{1}{2} $$
$$ \begin{align} \lim\limits_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + n} - n \right) &= \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{\left(\sqrt{n^2 + n} - n\right)\left(\sqrt{n^2 + n} + n\right)}{\sqrt{n^2 + n} + n} \right) \\ &= \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{n^2 + n - n^2}{\sqrt{n^2 + n} + n} \right) \\ &= \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{n}{\sqrt{n^2 + n} + n} \right) \\ &= \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1} \right) \\ &= \frac{1}{2} \\ \end{align} $$ $\lim\limits_{n \to \infty} \left(\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1\right) = 2$
임의의 양의 실수 $E$에 대하여, $n \geq N$인 모든 자연수 $n$에 대해 $$ a_{n} > E $$이 되게 하는 $N$이 존재하면, 수열 $\left\{ a_{n} \right\}$이 무한대로 발산한다고 하고, $\lim\limits_{n \to \infty} a_{n} = \infty$라 한다.음의 무한대로 발산 한다고 하면 다음을 말합니다.
임의의 음의 실수 $E$에 대하여, $n \geq N$인 모든 자연수 $n$에 대해 $$ a_{n} < E $$이 되게 하는 $N$이 존재하면, 수열 $\left\{ a_{n} \right\}$이 음의 무한대로 발산한다고 하고, $\lim\limits_{n \to \infty} a_{n} = -\infty$라 한다.수열 $\left\{ -a_{n} \right\}$이 무한대로 발산하면 $\left\{ a_{n} \right\}$이 음의 무한대로 발산한다고 할 수도 있습니다.
Ex 3.
임의의 양수 $x$에 대하여 $$ \lim\limits_{n \to \infty} \left( \frac{\left(1 + x\right)^n}{n} \right) = \infty $$
이항정리 사용
수열 $\left\{a_{n}\right\}$이 수렴하지도 않고, 무한대로 발산하지도 않고, 음의 무한대로 발산하지도 않으면 진동한다고 한다.
Ex 4.
수열 $\left\{\left( -1 \right)^n\right\}$은 진동한다.