라플라스 변환 과 역변환의 관계를 간단하게 볼 수 있는 표 입니다. $e$는 자연로그의 밑 e 이고, $\forall s$는 모든 실수 $s$에 대해 수렴한다는 뜻입니다.
| $f(t)$ | $\mathscr{L}(f(t)) = F(s)$ | 수렴영역 ($ROC$) | 비고 |
|---|---|---|---|
| $$ 1 $$ | $$ \frac{1}{s} $$ | $$ \forall s $$ | |
| $$ t $$ | $$ \frac{1}{s^{2}} $$ | $$ \Re(s) > 0 $$ | |
| $$ t^{n} $$ | $$ \frac{n!}{s^{n + 1}} $$ | $$ \Re(s) > 0 $$ | $n$은 자연수 |
| $$ t^{\frac{1}{2}} $$ | $$ \sqrt{\frac{\pi}{s}} $$ | $$ \Re(s) > 0 $$ | |
| $$ f(t)e^{-a t} $$ | $$ F(s + a) $$ | $ \mathscr{L}(f(t)) = F(s) $ | |
| $$ {\operatorname{d}\over\operatorname{d}\!t}f(t) $$ | $$ sF(s) - f(0) $$ | $ \mathscr{L}(f(t)) = F(s) $ | |
| $$ {\operatorname{d}^{n}\over\operatorname{d}\!t^{n}}f(t) $$ | $$ s^{n}F(s) + \sum^{n - 1}_{k = 0} s^{n - 1 - k} \left( \left. {\operatorname{d}^{k}\over\operatorname{d}\!t^{k}}f(t) \right|_{t = 0} \right) $$ | $ \mathscr{L}(f(t)) = F(s) $, $n$은 자연수 | |
| $$ tf(t) $$ | $$ -{\operatorname{d}\over\operatorname{d}\!s}F(s) $$ | $ \mathscr{L}(f(t)) = F(s) $ | |
| $$ t^{n}f(t) $$ | $$ (-1)^{n}{\operatorname{d}^{n}\over\operatorname{d}\!s^{n}}F(s) $$ | $ \mathscr{L}(f(t)) = F(s) $, $n$은 자연수 | |
| $$ t^{- \frac{1}{2}} $$ | $$ \frac{\sqrt{\pi}}{2s^{\frac{3}{2}}} $$ | $$ \Re(s) > 0 $$ | |
| $$ \sin(kt) $$ | $$ \frac{k}{s^{2} + k^{2}} $$ | $$ \Re(s) > 0 $$ | $k$는 실수 |
| $$ \cos(kt) $$ | $$ \frac{s}{s^{2} + k^{2}} $$ | $$ \Re(s) > 0 $$ | $k$는 실수 |
| $$ e^{-at} $$ | $$ \frac{1}{s + a} $$ | $$ \Re(s) > - a $$ | $a$는 실수 |
| $$ t e^{-at} $$ | $$ \frac{1}{{(s + a)}^{2}} $$ | $$ \Re(s) > - a $$ | $a$는 실수 |
| $$ e^{-at}\sin(kt) $$ | $$ \frac{k}{ {(s + a)}^{2} + k^{2} } $$ | $$ \Re(s) > - a $$ | $a$, $k$는 실수 |
| $$ t e^{-at}\cos(kt) $$ | $$ \frac{s + a}{ {(s + a)}^{2} + k^{2} } $$ | $$ \Re(s) > - a $$ | $a$, $k$는 실수 |
| $$ \frac{1}{b - a} \left( e^{-a t} - e^{-b t} \right) $$ | $$ \frac{1}{ (s + a) (s + b)} $$ | $a$, $b$는 실수, $a \not= b$ | |
| $$ \frac{1}{b - a} \left( b e^{-b t} - a e^{-a t} \right) $$ | $$ \frac{s}{ (s + a) (s + b)} $$ | $a$, $b$는 실수, $a \not= b$ | |
| $$ \frac{1}{ab} \left\{ 1 + \frac{1}{a - b} \left( b e^{-a t} - a e^{-b t} \right) \right\} $$ | $$ \frac{1}{ s (s + a) (s + b)} $$ | $a$, $b$는 실수, $a \not= b$, $ab \not= 0$ | |
| $$ \frac{1}{a^{2}} \left( at - 1 + e^{-a t} \right) $$ | $$ \frac{1}{ s^{2} (s + a)} $$ | $a$, $b$는 실수, $a \not= 0$ | |
| $$ \sinh(kt) $$ | $$ \frac{k}{ s^{2} - k^{2} } $$ | 함수 $\sinh(x)$는 쌍곡사인함수 , $k$는 실수 | |
| $$ \cosh(kt) $$ | $$ \frac{s}{ s^{2} - k^{2} } $$ | 함수 $\cosh(x)$는 쌍곡코사인함수 , $k$는 실수 | |
| $$ kt - \sin(kt) $$ | $$ \frac{k^{3}}{ s^{2} \left( s^{2} + k^{2} \right) } $$ | $k$는 실수 | |
| $$ 1 - \cos(kt) $$ | $$ \frac{k^{2}}{ s \left( s^{2} + k^{2} \right) } $$ | $k$는 실수 | |
| $$ \sin(kt) - kt \cos(kt) $$ | $$ \frac{2 k^{3}}{ {\left( s^{2} + k^{2} \right)}^2 } $$ | $k$는 실수 | |
| $$ t\sin(kt) $$ | $$ \frac{2 k s}{ {\left( s^{2} + k^{2} \right)}^2 } $$ | $k$는 실수 | |
| $$ \sin(kt) + kt \cos(kt) $$ | $$ \frac{2 k s^{2}}{ {\left( s^{2} + k^{2} \right)}^2 } $$ | $k$는 실수 | |
| $$ \frac{1}{b^{2} - a^{2}} \left\{ \cos(at) - \cos(bt) \right\} $$ | $$ \frac{s}{ {\left( s^{2} + a^{2} \right)} {\left( s^{2} + b^{2} \right)} } $$ | $k$는 실수 | |
| $$ \sin(kt) \cosh(kt) - \cos(kt) \sinh(kt) $$ | $$ \frac{4k^{3}}{ s^{4} + 4k^{4} } $$ | $k$는 실수 | |
| $$ \sin(kt) \sinh(kt) $$ | $$ \frac{2 k^{2} s}{ s^{4} + 4k^{4} } $$ | $k$는 실수 | |
| $$ \sinh(kt) - \sin(kt) $$ | $$ \frac{2 k^{3}}{ s^{4} - k^{4} } $$ | $k$는 실수 | |
| $$ \cosh(kt) - \cos(kt) $$ | $$ \frac{2 k^{2} s}{ s^{4} - k^{4} } $$ | $k$는 실수 | |
| $$ \frac{1}{\sqrt{ 4 \pi t^{3} }} \left( e^{b t} - e^{a t} \right) $$ | $$ \sqrt{s - a} - \sqrt{s - b} $$ | $a$, $b$는 실수 | |
| $$ e^{- (a + b) t} I_{0}( (a - b) t) $$ | $$ \frac{1}{\sqrt{s + 2a} \sqrt{s + 2b}} $$ | 함수 $I_{0}(x)$는 제 1종 변형 베젤 함수, $a$, $b$는 실수 | |
| $$ J_{0}(kt) $$ | $$ \frac{1}{ \sqrt{s^{2} + k^{2}}} $$ | 함수 $J_{0}(x)$는 제 1종 베젤 함수, $k$는 실수 |