자연수의 덧셈 , 자연수의 곱셈 처럼 정수 에서도 다음과 같은 연산을 정의할 수 있습니다.
정수의 덧셈과 곱셈정의에서 $a + c$, $b + d$, $(a \times c) + (b \times d)$, $(a \times d) + (b \times c)$ 각각이 모두 자연수이므로 정수의 덧셈과 곱셈은 닫혀있는 꼴임을 알 수 있습니다.
정수의 덧셈. $[a, b] + [c, d] := [a + c, b + d]$
정수의 곱셈. $[a, b] \times [c, d] := [(a \times c) + (b \times d), (a \times d) + (b \times c)]$
정수의 덧셈과 곱셈 연산의 정당성
$[a_{1}, b_{1}] = [a_{2}, b_{2}]$이면 임의의 정수 $[c, d]$에 대하여 다음이 성립한다.
$$ \begin{align} [a_{1}, b_{1}] + [c, d] & = [a_{2}, b_{2}] + [c, d] \tag{1} \\ [a_{1}, b_{1}] \times [c, d] & = [a_{2}, b_{2}] \times [c, d] \tag{2} \\ [c, d] + [a_{1}, b_{1}] & = [c, d] + [a_{2}, b_{2}] \tag{3} \\ [c, d] \times [a_{1}, b_{1}] & = [c, d] \times [a_{2}, b_{2}] \tag{4} \end{align} $$
먼저, $[a_{1}, b_{1}] = [a_{2}, b_{2}]$ 이므로 정수의 같음의 정의에서 $a_{1} + b_{2} = a_{2} + b_{1}$이 전제조건이다.
$[a_{1}, b_{1}] + [c, d]$, $[a_{2}, b_{2}] + [c, d]$는 각각 덧셈의 정의에서 $[a_{1} + c, b_{1} + d]$, $[a_{2} + c, b_{2} + d]$이다.
$$
\begin{align}
(a_{1} + c) + (b_{2} + d) \\ & \underset{(b)}= \\
((a_{1} + c) + b_{2}) + d \\ & \underset{(b)}= \\
(a_{1} + (c + b_{2})) + d \\ & \underset{(a)}= \\
(a_{1} + (b_{2} + c)) + d \\ & \underset{(b)}= \\
((a_{1} + b_{2}) + c) + d \\ & \underset{(b)}= \\
(a_{1} + b_{2}) + (c + d)
\end{align}
$$
$(a)$는 덧셈의 교환법칙, $(b)$는 덧셈의 결합법칙
$[a_{1}, b_{1}] \times [c, d]$, $[a_{2}, b_{2}] \times [c, d]$는 각각 곱셈의 정의에서 $[(a_{1} \times c) + (b_{1} \times d), (a_{1} \times d) + (b_{1} \times c)]$, $[(a_{2} \times c) + (b_{2} \times d), (a_{2} \times d) + (b_{2} \times c)]$이다.
$$
\begin{align}
((a_{1} \times c) + (b_{1} \times d)) + ((a_{2} \times d) + (b_{2} \times c)) \\ & \underset{(b)}= \\
(((a_{1} \times c) + (b_{1} \times d)) + (a_{2} \times d)) + (b_{2} \times c) \\ & \underset{(b)}= \\
(a_{1} \times c) + (((b_{1} \times d) + (a_{2} \times d)) + (b_{2} \times c)) \\ & \underset{(a)}= \\
(a_{1} \times c) + ((b_{2} \times c) + ((b_{1} \times d) + (a_{2} \times d))) \\ & \underset{(b)}= \\
((a_{1} \times c) + (b_{2} \times c)) + ((b_{1} \times d) + (a_{2} \times d)) \\ & \underset{(a)}= \\
((a_{1} \times c) + (b_{2} \times c)) + ((a_{2} \times d) + (b_{1} \times d)) \\ & \underset{(c)}= \\
((a_{1} + b_{2}) \times c) + ((a_{2} + b_{1}) \times d)
\end{align}
$$
$(a)$는 덧셈의 교환법칙, $(b)$는 덧셈의 결합법칙, $(c)$는 곱셈의 분배법칙
$(1)$ 증명
정수의 같음의 정의에서 $(a_{1} + c) + (b_{2} + d) = (a_{2} + c) + (b_{1} + d)$이면 $[a_{1}, b_{1}] + [c, d] = [a_{2}, b_{2}] + [c, d]$이다.
$(a_{1} + c) + (b_{2} + d) = (a_{1} + b_{2}) + (c + d)$이고, $(a_{2} + c) + (b_{1} + d) = (a_{2} + b_{1}) + (c + d)$이다.
전제조건으로 $a_{1} + b_{2} = a_{2} + b_{1}$이므로 양 변에 $(c + d)$를 더하면 $(a_{1} + b_{2}) + (c + d) = (a_{2} + b_{1}) + (c + d)$이다. 따라서 $[a_{1}, b_{1}] + [c, d] = [a_{2}, b_{2}] + [c, d]$이다.
$(a_{1} + c) + (b_{2} + d) = (a_{1} + b_{2}) + (c + d)$...?
$(2)$ 증명
정수의 같음의 정의에서 $((a_{1} \times c) + (b_{1} \times d)) + ((a_{2} \times d) + (b_{2} \times c)) = ((a_{1} \times d) + (b_{1} \times c)) + ((a_{2} \times c) + (b_{2} \times d))$이면 $[a_{1}, b_{1}] + [c, d] = [a_{2}, b_{2}] + [c, d]$이다.
$((a_{1} \times c) + (b_{1} \times d)) + ((a_{2} \times d) + (b_{2} \times c)) = ((a_{1} + b_{2}) \times c) + ((a_{2} + b_{1}) \times d)$이고, $((a_{1} \times d) + (b_{1} \times c)) + ((a_{2} \times c) + (b_{2} \times d)) = ((a_{2} + b_{1}) \times c) + ((a_{1} + b_{2}) \times d)$이다.
전제조건으로 $a_{1} + b_{2} = a_{2} + b_{1}$이므로 양 변에 $c$를 곱하면 $(a_{1} + b_{2}) \times c = (a_{2} + b_{1}) \times c$, 양 변에 $d$를 곱하면 $(a_{1} + b_{2}) \times d = (a_{2} + b_{1}) \times d$이다.
각 변을 더해주면 $((a_{1} \times c) + (b_{1} \times d)) + ((a_{2} \times d) + (b_{2} \times c)) = ((a_{1} \times d) + (b_{1} \times c)) + ((a_{2} \times c) + (b_{2} \times d))$이므로, $[a_{1}, b_{1}] \times [c, d] = [a_{2}, b_{2}] \times [c, d]$ 이다.
$((a_{1} \times c) + (b_{1} \times d)) + ((a_{2} \times d) + (b_{2} \times c)) = ((a_{1} + b_{2}) \times c) + ((a_{2} + b_{1}) \times d)$...?
정수의 마이너스 연산
$-[a, b] := [b, a]$
정수의 마이너스 연산의 정당성
$[a_{1}, b_{1}] = [a_{2}, b_{2}]$이면 $-[a_{1}, b_{1}] = -[a_{2}, b_{2}]$이다.
$[a_{1}, b_{1}] = [a_{2}, b_{2}]$이면 정수의 같음의 정의에서 $a_{1} + b_{2} = a_{2} + b_{1}$이다.
$-[a_{1}, b_{1}] = [b_{1}, a_{1}]$, $-[a_{2}, b_{2}] = [b_{2}, a_{2}]$인데, $a_{1} + b_{2} = a_{2} + b_{1}$에서 $b_{1} + a_{2} = b_{2} + a_{1}$이므로 $[b_{1}, a_{1}] = [b_{2}, a_{2}]$이다.
따라서, $[a_{1}, b_{1}] = [a_{2}, b_{2}]$이면 $-[a_{1}, b_{1}] = -[a_{2}, b_{2}]$이다.
정수의 표기
$n$이 $0$이 아닌 자연수 (양의 자연수) 라면
$$ \begin{align} n_{\mathbb{Z}} & := [n_{\mathbb{N}}, 0_{\mathbb{N}}] \\ -n_{\mathbb{Z}} & := [0_{\mathbb{N}}, n_{\mathbb{N}}] = -[n_{\mathbb{N}}, 0_{\mathbb{N}}] \end{align} $$ 이라 하고, $n_{\mathbb{Z}}$는 양의 정수, $-n_{\mathbb{Z}}$는 음의 정수라고 한다.
(또한, $0_{\mathbb{Z}} := [0_{\mathbb{N}}, 0_{\mathbb{N}}]$)
엄밀하게 집합으로만 따지면 정수 $2$와 자연수 $2$는 다르다.
자연수의 폰 노이만식 구성으로 $0_{\mathbb{N}} := \emptyset$, $n^{+} := n \cup \left\{ n \right\}$이라 한다면
$$
\begin{align}
2_{\mathbb{N}} & = \{ \emptyset, \{ \emptyset \} \} \\
2_{\mathbb{Z}} & = [2_{\mathbb{N}}, 0_{\mathbb{N}}] = \{ (n, m) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \ | \ m + 2_{\mathbb{N}} = n\}
\end{align}
$$
이고, $\{ \emptyset, \{ \emptyset \} \} \underset{???}= \{ (n, m) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \ | \ m + 2_{\mathbb{N}} = n\}$ 이라 하기엔 이상함이 있다.
단순히 연산의 관점에서 정수 $2_{\mathbb{Z}}$와 자연수 $2_{\mathbb{N}}$가 동일하게 작동하므로, 특별히 구분짓지 않고 편의상 밑첨자 $\mathbb{N}$과 $\mathbb{Z}$를 제거하고 $2$라 표기하는 것이다.
$n_{\mathbb{Z}}$와 $[n_{\mathbb{N}}, 0_{\mathbb{N}}]$ 사이에 동형사상이 존재한다고 할 수도 있다.
정수의 삼분법
임의의 정수 $m$은 다음 세 명제 중 하나만 참이다.
1. $m = 0$
2. $m$은 양의 정수이다.
2. $m$은 음의 정수이다.
정수의 정의에 따라 어떤 자연수 $a$, $b$에 대해 $m = [a, b]$이다.
자연수의 순서관계 중 자연수의 삼분법 에 따라 $a > b$이거나, $a = b$이거나, $a < b$이다.
1. $a > b$이면 $a = b + c$인 양의 자연수 $c$가 존재하고, $[a, b] = [c, 0]$이므로 $m = [c, 0]$에서 $c$는 양의 자연수이므로 $m$은 양의 정수이다.
2. $a = b$이면 $[a, b] = [a, a] = [0, 0]$에서 $m = [0, 0] = 0$이다.
3. $a < b$이면 $b = a + c$인 양의 자연수 $c$가 존재하고 $[a, b] = -[b, a] = -[c, 0] = [0, c]$이다. $c$는 양의 자연수이므로 $m$은 음의 정수이다.
$m$이 $0$, 양의 정수, 음의 정수 중 최소한 한 가지는 만족한다.
정수의 뺄셈덧셈 연산도, 마이너스 연산도 정당성을 증명했고 뺄셈 연산은 그 두 연산으로 이루어져있으니 정당성을 증명할 필요가 없습니다.
$$ n - m := n + (-m) $$
보조정리 1.
정수 $a$에 대하여 $a = 0$과 $a = [n, n]$은 필요충분조건이다.
$a = 0 \Leftarrow a = [n, n]$
$n = n + 0$에서 $[n, n] = [0, 0]$이고, $0 = [n, n]$이다.
$a = 0 \Rightarrow a = [n, n]$
$0 = [0, 0] = [a, b]$이려면 정수의 같음에서 $0 + b = 0 + a$여야 하고, 따라서 $b = a$이다.
보조정리 2.
정수 $a$, $b$가 $ab = 0$을 만족하면 $a = 0$이거나 $b = 0$이다. (혹은 둘 다 이다.)
0. 자연수의 순서관계 중 따름정리 8 에 따라 두 양의 자연수 $a$, $b$의 곱 $a \times b$는 양의 자연수이다. ($0$이 아니다.)
1. $a$가 양의 정수이고, $b$가 양의 정수인 경우
$a \times b = [a, 0] \times [b, 0] = [a \times b, 0]$에서 $a \times b$가 $0$이 아니므로 $[a \times b, 0] \not= 0$이다.
2. $a$가 양의 정수이고, $b$가 음의 정수인 경우
$a \times b = [a, 0] \times [0, b] = [(a \times 0) + (0 \times b), (a \times b) + (0 \times 0)] = [0, a \times b]$에서 $a \times b$가 $0$이 아니므로 $[0, a \times b] \not= 0$이다.
3. $a$가 음의 정수이고, $b$가 양의 정수인 경우
$a \times b = [0, a] \times [b, 0] = [(0 \times b) + (a \times 0), (0 \times 0) + (a \times b)] = [0, a \times b]$에서 $a \times b$가 $0$이 아니므로 $[0, a \times b] \not= 0$이다.
4. $a$가 음의 정수이고, $b$가 음의 정수인 경우
$a \times b = [0, a] \times [0, b] = [(0 \times 0) + (a \times b), (0 \times b) + (a \times 0)] = [a \times b, 0]$에서 $a \times b$가 $0$이 아니므로 $[a \times b, 0] \not= 0$이다.
따라서 $a$나 $b$중 최소한 하나는 $0$이어야 한다.
임의의 세 정수 $x$, $y$, $z$에 대하여...
R1. (덧셈의 교환법칙) $x + y = y + x$
R2. (덧셈의 결합법칙) $x + (y + z) = (x + y) + z$
R3. (덧셈의 항등원) $x + 0 = 0 + x = x$
R4. (덧셈의 역원) $x + (-x) = (-x) + x = 0$
R5. (곱셈의 교환법칙) $x \times y = y \times x$
R6. (곱셈의 결합법칙) $(x \times y) \times z = x \times (y \times z)$
R7. (곱셈의 분배법칙) $x \times (y + z) = x \times y + x \times z$
R8. (곱셈의 항등원) $x \times 1 = 1 \times x = x$
여섯개의 자연수 $x_{1}$, $x_{2}$, $y_{1}$, $y_{2}$, $z_{1}$, $z_{2}$에 대하여 $x = [x_{1}, x_{2}]$, $y = [y_{1}, y_{2}]$, $z = [z_{1}, z_{2}]$라 하자.
덧셈의 정의에서 $x + y = [x_{1}, x_{2}] + [y_{1}, y_{2}] = [x_{1} + y_{1}, x_{2} + y_{2}]$이고, $y + x = [y_{1}, y_{2}] + [x_{1}, x_{2}] = [y_{1} + x_{1}, y_{2} + x_{2}]$이다.
덧셈의 정의에서 $x + (y + z) = [x_{1}, x_{2}] + ([y_{1}, y_{2}] + [z_{1}, z_{2}]) = [x_{1}, x_{2}] + [y_{1} + z_{1}, y_{2} + z_{2}] = [x_{1} + (y_{1} + z_{1}), x_{2} + (y_{2} + z_{2})]$이고, $(x + y) + z = ([x_{1}, x_{2}] + [y_{1}, y_{2}]) + [z_{1}, z_{2}] = [x_{1} + y_{1}, x_{2} + y_{2}] + [z_{1}, z_{2}] = [(x_{1} + y_{1}) + z_{1}, (x_{2} + y_{2}) + z_{2}]$이다.
R1에 의해 $x + 0 = 0 + x$이므로, $x + 0 = x$이기만 하면 된다.
R1에 의해 $x + (-x) = (-x) + x$이므로, $x + (-x) = 0$이기만 하면 된다.
곱셈의 정의에서 $x \times y = [x_{1}, x_{2}] \times [y_{1}, y_{2}] = [(x_{1} \times y_{1}) + (x_{2} \times y_{2}), (x_{1} \times y_{2}) + (x_{2} \times y_{1})]$이고, $y \times x = [y_{1}, y_{2}] \times [x_{1}, x_{2}] = [(y_{1} \times x_{1}) + (y_{2} \times x_{2}), (y_{1} \times x_{2}) + (y_{2} \times x_{1})]$이다.
또한, "정수의 같음" 정의에서 $a + b = b + a$이므로 $[a, b] = [a, b]$이다. (R0)
R1 증명
자연수의 덧셈에서 교환법칙이 성립하므로, $x_{1} + y_{1} = y_{1} + x_{1}$, $x_{2} + y_{2} = y_{2} + x_{2}$에서 R0에 의해 $x + y = y + x$임을 알 수 있다.
R2 증명
자연수의 덧셈에서 결합법칙이 성립하므로, $x_{1} + (y_{1} + z_{1}) = (x_{1} + y_{1}) + z_{1}$, $x_{2} + (y_{2} + z_{2}) = (x_{2} + y_{2}) + z_{2}$이고, R0에 의해 $x + (y + z) = (x + y) + z$이다.
R3 증명
$0 = [0, 0]$에서 $x + 0 = [x_{1}, x_{2}] + [0, 0] = [x_{1} + 0, x_{2} + 0] = [x_{1}, x_{2}] = x$이므로, R3이 성립한다.
R4 증명
마이너스 연산의 정의에 의해 $-x = [x_{2}, x_{1}]$에서 $x + (-x) = [x_{1}, x_{2}] + [x_{2}, x_{1}] = [x_{1} + x_{2}, x_{2} + x_{1}]$이다.
자연수의 덧셈에서 교환법칙이 성립하므로 $x_{1} + x_{2} = x_{2} + x_{1}$이고, 보조정리 1에 따라 $[x_{1} + x_{2}, x_{2} + x_{1}] = 0$이다.
R5 증명
자연수의 덧셈과 곱셈에서 교환법칙이 성립하므로 $(x_{1} \times y_{1}) + (x_{2} \times y_{2}) = (y_{1} \times x_{1}) + (y_{2} \times x_{2})$이고, $(x_{1} \times y_{2}) + (x_{2} \times y_{1}) = (y_{1} \times x_{2}) + (y_{2} \times x_{1})$이므로, R0에 따라 $x \times y = y \times x$이다.
정수의 소거법칙
$0$이 아닌 정수 $n$에 대하여 정수 $a$, $b$가 $$ an = bn $$ 이면 $$ a = b $$ 이다.
보조정리 1에서 $an - bn = 0$이다.
$(a + -b)n$으로 묶으려면 R7 필요