수학적 귀납법 기반 증명
먼저, $0 \times m = 0$에서 $0$은 자연수(페아노 공리계 1번)이므로 $0 \times m \in \mathbb{N}$이다.
이제 $n \times m \in \mathbb{N}$이라 가정하고, $n^{+} \times m \in \mathbb{N}$임을 보이면 된다.
$n \times m \in \mathbb{N}$인데, 곱셈의 정의에서 $n^{+} \times m = (n \times m) + m$이고, 덧셈 연산이 닫혀있으므로 두 자연수 $(n \times m)$와 $m$의 합은 자연수이다.
따라서 수학적 귀납법에 따라 모든 자연수 $n$에 대해 $n \times m \in \mathbb{N}$이다.

수학적 귀납법 기반 증명
곱셈의 정의에서 $0 \times m = m$이므로 $0 \times 0 = 0$을 만족한다. ($m \leftarrow 0$)
$n \times 0 = 0$이라 가정하고 $n^{+} \times 0 = 0$임을 보이면 충분하다.
곱셈의 정의에서 $n^{+} \times 0 = (n \times 0) + 0$인데, $n \times 0 = 0$이라 가정했으니 $n^{+} \times 0 = (n \times 0) + 0 = 0 + 0 = 0$이다.

수학적 귀납법 기반 증명
$m$은 고정하고 $n$에 대한 성질 $n \times m^{+} = (n \times m) + n$으로 볼 수 있다.
$n = 0$이면 좌변은 $0 \times m^{+}$에서 곱셈의 정의에 의해 $0$의 값을 갖는다.
우변은 $(0 \times m) + 0$에서 곱셈의 정의에 의해 $0 \times m = 0$, $0 + 0 = 0$에서 $0$의 값을 가지므로, $n = 0$일 때 $n \times m^{+} = (n \times m) + n$이 성립한다.
$n \times m^{+} = (n \times m) + n$이라 가정하고 $n^{+} \times m^{+} = (n^{+} \times m) + n^{+}$임을 보이면 충분하다.
먼저, 좌변은 곱셈의 정의에 의해 $(n \times m^{+}) + m^{+}$이고, $n \times m^{+} = (n \times m) + n$이라 가정했으니 $(n \times m^{+}) + m^{+} = ((n \times m) + n) + m^{+}$이다.
우변은 곱셈의 정의에 의해 $(n^{+} \times m) + n^{+} = ((n \times m) + m) + n^{+}$이다.

$1 := 0^{+}$, 보조정리 2에서 $n \times 0^{+} = (n \times 0) + n$이고, 보조정리 1에서 $n \times 0 = 0$이므로 $(n \times 0) + n = 0 + n = 0$이다. 따라서 $n \times 1 = n$이다.

수학적 귀납법 기반 증명
$a$, $b$는 고정하고 $c$에 대한 성질 $a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$로 볼 수 있다.
$c = 0$일 때 좌변의 값은 $a \times (b + 0) = a \times b$이고, 우변의 값은 $(a \times b) + (a \times 0)$이고 보조정리 1에서 $a \times 0 = 0$이므로, $(a \times b) + (a \times 0) = (a \times b) + 0 = a \times b$이다.
따라서 $a \times (b + 0) = (a \times b) + (a \times 0)$이다.
$a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$이라 가정하고 $a \times (b + c^{+}) = (a \times b) + (a \times c^{+})$임을 보이면 충분하다.
좌변의 값은 $a \times (b + c^{+}) = a \times (b + c)^{+}$에서 보조정리 2에 의해 $a \times (b + c)^{+} = (a \times (b + c)) + a$이다.
우변의 값은 보조정리 2에서 $(a \times b) + (a \times c^{+}) = (a \times b) + (a \times c + a)$이다.
덧셈의 교환법칙에서 $(a \times b) + (a \times c + a) = (a \times b + a \times c) + a$이고, $a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$이라 가정했으니 좌변과 우변의 값이 같다.
귀납법에 의해 모든 자연수 $c$에 대해 $a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)$이다.

수학적 귀납법 기반 증명
$m$은 고정하고 $n$에 대한 성질 $n \times m = m \times n$로 볼 수 있다.
$n = 0$일 때 $0 \times m$의 값은 곱셈의 정의에서 $0$이고, $m \times 0$의 값은 보조정리 1에서 $0$이다.
따라서 $0 \times m = m \times 0$이다.
$n \times m = m \times n$이라 가정하고 $n^{+} \times m = m \times n^{+}$임을 보이면 충분하다.
좌변의 값은 곱셈의 정의에 따라 $(n \times m) + m$이고, 우변의 값은 보조정리 2에서 $(m \times n) + m$이다.
$n \times m = m \times n$이라 가정했으니 $(n \times m) + m = (m \times n) + m$이다. 귀납법에 의해 모든 자연수 $n$에 대해 $n \times m = m \times n$이다.

수학적 귀납법 기반 증명
$a$, $b$는 고정하고 $c$에 대한 성질 $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$로 볼 수 있다.
$c = 0$일 때 좌변은 $(a \times b) \times 0$에서 보조정리 1에 의해 $0$의 값을 갖는이다.
우변은 $a \times (b \times 0)$에서 보조정리 1에 의해 $b \times 0 = 0$에서 $a \times (b \times 0) = a \times 0$이고, 다시 보조정리 1에서 $a \times 0 = 0$이므로 좌변과 우변 두 값이 같다.
$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$이라 가정하고 $(a \times b) \times c^{+} = a \times (b \times c^{+})$임을 보이면 충분하다.
좌변의 값은 보조정리 2에 따라 $((a \times b) \times c) + (a \times b)$이고, 우변의 값은 보조정리 2에서 $a \times ((b \times c) + b)$이다.
곱셈의 분배법칙에서 $a \times ((b \times c) + b) = (a \times (b \times c)) + (a \times b)$이다.
좌변과 우변의 값이 동일하므로, 귀납법에 의해 모든 자연수 $c$에 대해 $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$이 성립한다.

자연수의 순서관계 에서 "순서 명제 5 (곱셈의 순서 보존)", "자연수의 삼분법"의 따름명제로 볼 수 있다.
$a < b$이면 순서 명제 5에 의해 $a \times n < b \times n$인데 이는 $a \times n = b \times n$임에 모순이다.
$b < a$이면 (= $a > b$이면) 순서 명제 5에 의해 $a \times n > b \times n$인데 이는 $a \times n = b \times n$임에 모순이다.
자연수의 삼분법에 의해 $a < b$가 아니고 $a > b$가 아니므로 $a = b$이다.