자연수 집합 N 은 다음과 같은 페아노 공리계를 만족합니다.
1. N은 0이라는 원소를 갖는다.n+만 정의했을 뿐, 덧셈과 곱셈은 정의하지 않았음을 알 수 있습니다.
2. N의 임의의 원소 n에 대하여 n의 (다음 수 / 후계) (Successor) n+도 N의 원소이다.
3. 0이 다음 수인 원소는 N에 존재하지 않는다.
4. N의 두 원소가 같은 다음 수를 가지면, 두 원소는 같다.
5. N의 부분집합 S가 0∈S이고, 임의의 n∈S에 대하여 n+∈S이면 N=S이다. ( 수학적 귀납법 )
자연수의 덧셈덧셈이 재귀적으로 잘 정의되었습니다. (사실 Recursion Theorem을 증명해야 합니다.) 자연수 집합에서 엄밀하게 덧셈을 정의하면 이와 같이 됩니다.
1. 0+m:=m
2. n++m:=(n+m)+
자연수 덧셈 연산의 닫힘
n+m∈N
수학적 귀납법 기반 증명
먼저, 0+m=m에서 m은 자연수이므로 0+m∈N이다.
이제 n+m∈N이라 가정하고, n++m∈N임을 보이면 된다.
덧셈의 정의에서 n++m=(n+m)+이고, 페아노 공리계 2번에 따라 (n+m)∈N이면 (n+m)+∈N이고, 가정에서 n+m∈N이므로 n++m∈N이다.
따라서 수학적 귀납법에 따라 모든 자연수 n에 대해 n+m∈N이다.
보조정리 1.
모든 자연수 n에 대하여 n+0=n
수학적 귀납법 기반 증명
덧셈의 정의에서 0+m=m이므로 0+0=0을 만족한다. (m←0)
n+0=n이라 가정하고 n++0=n+임을 보이면 충분하다.
덧셈의 정의에서 n++0=(n+0)+인데, n+0=n이라 가정했으니 n++0=(n+0)+=(n)+=n+이다.
보조정리 2.
모든 자연수 n, m에 대하여 n+m+=(n+m)+
수학적 귀납법 기반 증명
m은 고정하고 n에 대한 성질 n+m+=(n+m)+으로 볼 수 있다.
n=0이면 좌변은 0+m+에서 덧셈의 정의에 의해 m+의 값을 갖는다.
우변은 (0+m)+에서 덧셈의 정의에 의해 0+m=m에서 m+의 값을 가지므로, n=0일 때 n+m+=(n+m)+이 성립한다.
n+m+=(n+m)+이라 가정하고 n++m+=(n++m)+임을 보이면 충분하다.
먼저, 좌변은 덧셈의 정의에 의해 (n+m+)+이고, n+m+=(n+m)+이라 가정했으니 (n+m+)+=((n+m)+)+이다.
우변은 덧셈의 정의에 의해 (n++m)+=((n+m)+)+이므로, 좌변과 우변 두 값이 동일하다.
따름정리 1.
모든 자연수 n에 대하여 n+1=n+
1:=0+, 보조정리 2에서 n+0+=(n+0)+이고, 보조정리 1에서 n+0=n이므로 (n+0)+=n+이다. 따라서 n+1=n+이다.
따름정리 2.
1+1=2
따름정리 1에서 n←1을 대입하면 1+1=1+인데, 2=1+이므로 1+1=2이다.
혹은 덧셈의 정의에서 1+1=0++1=(0+1)+=1+=2이다.
자연수 덧셈의 교환법칙
n+m=m+n
수학적 귀납법 기반 증명
m은 고정하고 n에 대한 성질 n+m=m+n로 볼 수 있다.
n=0일 때 0+m의 값은 덧셈의 정의에서 m이고, m+0의 값은 보조정리 1에서 m이다.
따라서 0+m=m+0이다.
n+m=m+n이라 가정하고 n++m=m+n+임을 보이면 충분하다.
좌변의 값은 덧셈의 정의에 따라 (n+m)+이고, 우변의 값은 보조정리 2에서 (m+n)+이다.
n+m=m+n이라 가정했으므로 (n+m)+=(m+n)+이다.
귀납법에 의해 모든 자연수 n에 대해 n+m=m+n이 성립한다.
자연수 덧셈의 결합법칙
(a+b)+c=a+(b+c)
수학적 귀납법 기반 증명
a, b는 고정하고 c에 대한 성질 (a+b)+c=a+(b+c)로 볼 수 있다.
c=0일 때 좌변은 (a+b)+0에서 보조정리 1에 의해 a+b이다.
우변은 a+(b+0)에서 보조정리 1에 의해 b+0=b에서 a+(b+0)=a+b이므로, 좌변과 우변 두 값이 같다.
(a+b)+c=a+(b+c)이라 가정하고 (a+b)+c+=a+(b+c+)임을 보이면 충분하다.
좌변의 값은 보조정리 2에 따라 ((a+b)+c)+이고, 우변의 값은 보조정리 2에서 a+(b+c)+이다. 우변의 값에 다시 한 번 보조정리 2를 적용하면 (a+(b+c))+이다.
(a+b)+c=a+(b+c)라고 가정했으니 ((a+b)+c)+=(a+(b+c))+이다. 귀납법에 의해 모든 자연수 c에 의해 (a+b)+c=a+(b+c)이다.
자연수 덧셈의 소거법칙
a+c=b+c 이면 a=b
수학적 귀납법 기반 증명
a, b는 고정하고 c에 대한 성질 a+c=b+c⇒a=b로 볼 수 있다.
c=0일 때 a+0=b+0에서 보조정리 1에 의해 각 변은 a, b이므로 a=b이다.
"a+c=b+c이면 a=b"이라 가정하고 "a+c+=b+c+이면 a=b"임을 보이면 된다.
a+c+=b+c+의 좌변은 보조정리 2에 의해 (a+c)+이고 우변은 보조정리 2에 의해 (b+c)+이다.
페아노 공리계 4번에 의해 n+=m+이면 n=m이고 (a+c)+=(b+c)+이므로 a+c=b+c이고, 가정에 의해 a=b이다.
따라서 모든 자연수 c에 대해 a+c=b+c⇒a=b 이다.