자연수 집합 (Integer) $\mathbb{N}$ 은 페아노 공리계 (Peano's axioms)를 사용하면 다음과 같이 정의합니다.
1. $\mathbb{N}$은 $0$이라는 원소를 갖는다.$n^{+}$만 정의했을 뿐, 덧셈과 곱셈은 정의하지 않았음을 알 수 있습니다.
2. $\mathbb{N}$의 임의의 원소 $n$에 대하여 $n$의 (다음 수 / 후계) (Successor) $n^{+}$도 $\mathbb{N}$의 원소이다.
3. $0$이 다음 수인 원소는 $\mathbb{N}$에 존재하지 않는다.
4. $\mathbb{N}$의 두 원소가 같은 다음 수를 가지면, 두 원소는 같다.
5. $\mathbb{N}$의 부분집합 $S$가 $0 \in S$이고, 임의의 $n \in S$에 대하여 $n^{+} \in S$이면 $\mathbb{N} = S$이다. ( 수학적 귀납법 )
자연수의 덧셈덧셈이 재귀적으로 잘 정의되었습니다.
1. $0 + m := m$ ($0 + m$은 $m$으로 정의한다.)
2. $n^{+} + m := (n + m)^{+}$
자연수 덧셈 연산의 닫힘
$$ n + m \in \mathbb{N} $$
수학적 귀납법 기반 증명
먼저, $0 + m = m$에서 $m$은 자연수이므로 $0 + m \in \mathbb{N}$이다.
이제 $n + m \in \mathbb{N}$이라 가정하고, $n^{+} + m \in \mathbb{N}$임을 보이면 된다.
$n + m \in \mathbb{N}$인데, 덧셈의 정의에서 $n^{+} + m = (n + m)^{+}$이고, 페아노 공리계 2번에 따라 $n + m \in \mathbb{N}$이면 $(n + m)^{+} \in \mathbb{N}$이고, 따라서 $n^{+} + m \in \mathbb{N}$이다.
따라서 수학적 귀납법에 따라 모든 자연수 $n$에 대해 $n + m \in \mathbb{N}$이다.
보조정리 1.
$$ m + 0 = m $$
자연수 덧셈의 교환법칙
$$ n + m = m + n $$
자연수 덧셈의 결합법칙
$$ (m + n) + k = m + (n + k) $$
자연수 덧셈의 소거법칙
$$ m + k = n + k $$ 이면 $$ m = n $$