미적분학의 기본정리 2 (Fundamental Theorem of Calculus 2, FTC 2) 은 다음과 같습니다.
구간 $[a, b]$에서 연속 인 함수 $f$에 대하여, $F(x)$의 도함수 가 $f(x)$ (즉, $F$가 $f$의 역도함수)일 때, $$ \int_{a}^{b} f(t) \, dt \ = F(b) - F(a) $$ 이다.적분 연산을 아주 쉽게 해주는 정리입니다.
증명의 스케치 - 미적분학의 기본정리 1 이용
$$ g(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt $$ 라 하면 $F(x)$와 $g(x)$는 어떤 상수 $C$에 대해 $F(x) = g(x) + C$ 이다. (양변을 미분해보면 알 수 있다.)
따라서 $F(b) = g(b) + C = \int_{a}^{b} f(t) \, dt + C$이고, $F(a) = g(a) + C = \int_{a}^{a} f(t) \, dt + C = 0 + C = C$이다.
$F(b) - F(a) = \left( \int_{a}^{b} f(t) \, dt + C \right) - (C)$ 에서 $$ F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(t) \, dt $$ 이다.