미적분학의 기본정리 1 (Fundamental Theorem of Calculus 1, FTC 1) 은 다음과 같습니다.
구간 $[a, b]$에서 연속인 함수 $f$에 대하여, 함수 $$ F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\, dt\, \quad (a \leq x \leq b) $$ 는 구간 $[a, b]$에서 연속 이고, $(a, b)$에서 미분가능하고, $F(x)$의 도함수 가 $f(x)$이다.미분과 적분이 서로의 역연산 관계라는 것을 밝히는 정리입니다.
증명의 스케치 - 적분의 평균값 정리 이용해주기
구간 $[a, b]$ 내의 $[x, x + h]$ 라는 구간에서 함수 $f(x)$는 연속이므로, 적분의 평균값 정리에 의해
$$ \frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} f(t)\, dt\, = f(c) \, \quad (x < c < x + h) $$
인 실수 $c$가 존재한다.
$h \to 0$으로 하면 조임 정리에서 $c \to x$이고, 따라서
$$ \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} f(t)\, dt\, = f(x) $$
이다.
또, $$ \begin{align} F(x + h) - F(x) &= \int_{a}^{x + h} f(t)\, dt\, - \int_{a}^{x} f(t)\, dt\, \\
&= \int_{a}^{x + h} f(t)\, dt\, + \int_{x}^{a} f(t)\, dt\, \\
&= \int_{x}^{x + h} f(t)\, dt\, \end{align}$$
이므로, $$ \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} f(t)\, dt\, = f(x) $$ 에서 $$ \lim_{h \to 0} \frac{F(x + h) - F(x)}{h} = f(x) $$ 이므로, 도함수 의 정의에 의해 $F'(x) = f(x)$이다.