변수분리형 미분방정식

(1계 미분방정식에서의) 변수분리형 미분방정식 (Separable ODEs) 은 다음과 같은 미분방정식입니다.

$$ \frac{dy}{dx} = g(x)h(y) $$

다음 모양과도 같습니다.

$$ p(x) \, dx = q(y) \, dy $$

$P'(x) = p(x)$, $Q'(y) = q(y)$라 하면, 해당 미분방정식의 해는 $P(x) + C = Q(y)$꼴이 됩니다. ($C$는 적분상수)
다음과 같은 간단한 예시를 들 수 있습니다.

예시 1
$$ \frac{dy}{dx} = y $$
Solution : $y = e^{x + C}$

예시 1 풀이과정

$\frac{1}{y} dy = dx$로 쓸 수 있고, 양 변에 적분 기호를 씌워주면 $\int \frac{1}{y} dy = \int 1 dx$이다.
각각 자연로그함수 의 정의와 다항함수의 적분을 통해 $\ln y = x + C$라 할 수 있고, 따라서 $e^{\ln y} = e^{x + C}$에서 $y = e^{x + C}$이다.

$e$는 자연로그의 밑 $e$ 입니다.
$\frac{dy}{dx} = \frac{-x}{y}$는 원의 방정식이 됩니다.
로지스틱 함수 는 $\frac{dy}{dx} = y (1 - y)$의 해입니다.
변수 분리가 안될 것 같이 생겼지만, $\frac{dy}{dx} = f(x, y)$ 꼴에서 $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{f(x, y)}$로 보면 변수분리가 되는 케이스가 있습니다.