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적분 판정법

적분 판정법 (Integral Test) 은 다음과 같습니다.

함수 f(x)가 어떤 정수 N에 대해 x>N에서 단조감소하고 f(x)0이면 급수 n=Nf(n) 와 이상적분 Nf(x)dx 은 동시에 발산하거나 동시에 수렴한다.
적분 판정법 증명

f(x)가 단조감소하므로 f(n+1)n+1nf(x)dxf(n)이 성립한다.
M까지의 합을 취해주면 Mn=Nf(n+1)M+1Nf(x)dxMn=Nf(n)에서, M+1n=N+1f(n)M+1Nf(x)dxMn=Nf(n)이고, M에 극한을 취하면 n=N+1f(n)Nf(x)dxn=Nf(n) 이다.
해당 부등식에서 (급수 / 이상적분)이 (발산 / 수렴)하면 (이상적분 / 급수)또한 (발산 / 수렴)한다.
발산은 쉽게 보일 수 있고, 수렴할 때에는 단조수렴정리를 활용할 수 있다.

적분 판정법으로 p급수 판정법 등을 할 수 있게 됩니다.