적분 판정법 (Integral Test) 은 다음과 같습니다.
함수 $f(x)$가 어떤 정수 $N$에 대해 $x > N$에서 단조감소하고 $f(x) \geq 0$이면 급수 $$ \sum_{n = N}^{\infty} f(n) $$ 와 이상적분 $$ \int_{N}^{\infty} f(x) \, dx $$ 은 동시에 발산하거나 동시에 수렴한다.
$f(x)$가 단조감소하므로 $f(n + 1) \leq \int_{n}^{n + 1} f(x) \, dx \leq f(n)$이 성립한다.
$M$까지의 합을 취해주면 $\sum\limits_{n = N}^{M} f(n + 1) \leq \int_{N}^{M + 1} f(x) \, dx \leq \sum\limits_{n = N}^{M} f(n)$에서, $\sum\limits_{n = N + 1}^{M + 1} f(n) \leq \int_{N}^{M + 1} f(x) \, dx \leq \sum\limits_{n = N}^{M} f(n)$이고, $M$에 극한을 취하면 $$ \sum_{n = N + 1}^{\infty} f(n) \leq \int_{N}^{\infty} f(x) \, dx \leq \sum_{n = N}^{\infty} f(n) $$ 이다.
해당 부등식에서 (급수 / 이상적분)이 (발산 / 수렴)하면 (이상적분 / 급수)또한 (발산 / 수렴)한다.
발산은 쉽게 보일 수 있고, 수렴할 때에는 단조수렴정리를 활용할 수 있다.