싱마스터의 추측

싱마스터의 추측 (Singmaster's Conjecture) 의 내용은 다음과 같습니다.

$N(a)$를 $\binom{n}{k} = a$인 경우의 수로 정의할 때, $N(a) = O(1)$이다.

$\binom{n}{k}$는 이항계수 입니다.
굳이 빅 오 표기법으로 나타낸 이유는, 모든 자연수 $n$에 대하여 $\binom{n}{0} = 1$이므로 $N(a)$가 $a = 1$에서 무한대로 발산합니다.
이 부분을 제외하면 다음과 같이 표기할 수 있습니다.

$N(a)$를 $\binom{n}{k} = a$인 경우의 수로 정의할 때, 어떤 상수 $M$과 $1$보다 큰 모든 정수 $a$에 대하여 $N(a) < M$이다.

가볍게 $N(a) \geq 2$라는 것은 보일 수 있는데, 바로 $\binom{a}{1} = \binom{a}{a - 1} = a$ 에서 최소 두 개의 표현법을 가지기 때문입니다.
싱마스터는 $a$가 $2$이상인 경우에, $N(a) \leq 2 + 2 \lg a$임을 증명했는데, $\lg x$는 이진로그함수 입니다.
싱마스터는 또 다음 식을 보입니다.

피보나치 수열 $F_{n}$과 모든 음이 아닌 정수 $m$에 대하여 $$ \binom{F_{2m + 2} \, F_{2m + 3}}{F_{2m} \, F_{2m + 3}} = \binom{F_{2m + 2} \, F_{2m + 3} - 1}{F_{2m} \, F_{2m + 3} + 1} $$ 이다.

이에 따라, $N(a) \geq 6$인 $a$는 무수히 많다는게 알려져있습니다.