소수 간극
소수 간극 (Prime Gap) gn은 다음과 같이 정의합니다.
gn=pn+1−pn
pn은 n번째 소수 입니다.
pn<100000000=108일 때에는 gn<222임이 알려져있고, pn<231일 때에는 gn<294임이 알려져있습니다. (즉, int 범위에서는 아무 수 K를 골라도 K±147 안에 소수 하나쯤은 있는 셈입니다.)
또, pn<263일 때에는 gn<1512임이 알려져 있으므로, 소수는 생각보다 굉장히 조밀하게 모여있음을 알 수 있습니다.
소수 간극에 대한 추측으로는 여러가지가 있는데, 가장 유명한 추측은 란다우 문제인 르장드르의 추측 이 있습니다.
소수 간극에 대한 특징 중 하나는 다음과 같습니다.
임의의 정수 M에 대해,
gn>M
인 정수 n이 존재한다.
즉, 소수 간극이 1억인 경우도, 1조인 경우도, 1경인 경우도 존재한다는 것입니다.
이는 (M+2)!+2부터 (M+2)!+M+2까지의 모든 수가 합성수이므로 생기는 일입니다.
(M+2)!+K (2≤K≤M+2)는 각각 K의 배수입니다.