소수 간극

II-eugene-II Note

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소수 간극

소수 간극 (Prime Gap) $g_{n}$ 은 다음과 같이 정의합니다.

$g_{n} = p_{n + 1} - p_{n}$

$p_{n}$ 은

$n$ 번째 소수 입니다.

$p_{n} < 100000000 = 10^{8}$ 일 때에는

$g_{n} < 222$ 임이 알려져있고,

$p_{n} < 2^{31}$ 일 때에는

$g_{n} < 294$ 임이 알려져있습니다. (즉, int 범위에서는 아무 수

$K$ 를 골라도

$K \pm 147$ 안에 소수 하나쯤은 있는 셈입니다.)
또,

$p_{n} < 2^{63}$ 일 때에는

$g_{n} < 1512$ 임이 알려져 있으므로, 소수는 생각보다 굉장히 조밀하게 모여있음을 알 수 있습니다.
소수 간극에 대한 추측으로는 여러가지가 있는데, 가장 유명한 추측은 란다우 문제인 르장드르의 추측 이 있습니다.
소수 간극에 대한 특징 중 하나는 다음과 같습니다.

임의의 정수 $M$ 에 대해, $g_{n} > M$ 인 정수 $n$ 이 존재한다.

즉, 소수 간극이 1억인 경우도, 1조인 경우도, 1경인 경우도 존재한다는 것입니다.
이는

$(M + 2)! + 2$ 부터

$(M + 2)! + M + 2$ 까지의 모든 수가 합성수이므로 생기는 일입니다.

$(M + 2)! + K$ (

$2 \leq K \leq M + 2$ )는 각각

$K$ 의 배수입니다.