메르센 소수
메르센 소수 (Mersenne Prime) 의 정의는 다음과 같습니다.
메르센 수 $M_{n}$에 대하여, $M_{n}$이 소수 이면 메르센 소수라고 한다.
즉, 메르센 수 중에서도 소수인 메르센 수를 메르센 소수라고 합니다.
메르센 소수가 되기 위해서는 우선 $n$이 소수여야만 가능합니다. (물론 $n$이 소수라고 $M_{n}$이 모두 소수인 것은 아닙니다.)
알려진 메르센 소수는 52가지 이며, 알려진 가장 큰 메르센 소수는 $M_{136279841} = 2^{136279841} - 1$이고 이는 인류가 알고 있는 가장 큰 소수입니다.
메르센 소수의 특징은 여러가지가 있습니다.
1. $M_{n}$이 소수이면 $n$도 소수이다.
메르센 수 특징 1 증명
$M_{pq}$는 $M_{p}$, $M_{q}$ 등의 약수임을 보이기
3. 홀수 소수 $p$에 대하여 $M_{p}$의 약수는 모두 $2kp + 1$꼴이다. ($k$는 자연수)
4. $M_{n}$이 소수이면 $2^{n - 1} \left(2^n - 1\right)$은 완전수 이다.
현대에는 GIMPS 라는 프로젝트로 아주 큰 메르센 소수를 찾고 있습니다. Prime95 라는 프로그램을 다운받아 메르센 소수를 찾을 수 있습니다.
이와 비슷한 꼴의 페르마 소수 도 존재합니다.