베르누이분포

베르누이분포 (Bernoulli Distribution) 는 다음의 확률질량함수를 갖습니다.

$$ f(x) = p^{x} q^{1 - x} $$ $(x = 0$, $1)$

동전 던지기처럼 매 시행마다 두 가지 경우만 존재하는 실험에 대하여 이 실험을 베르누이 실험이라 하고, 베르누이 실험을 딱 1회 시행했을 때의 확률 분포를 베르누이분포라 합니다.
두 가지 경우만 존재하므로, 둘 중 하나를 $1$, $1$이 나올 확률을 $p$, 다른 한 경우를 $0$, $0$이 나올 확률을 $q$ (즉, $p + q = 1$에서 $q = 1 - p$)로 표현하여 준 것입니다.
베르누이분포의 평균은 $E[X] = p$, 분산은 $V[X] = pq$입니다.

베르누이분포의 평균과 분산 증명

다른 분포들에 비해 구하기 굉장히 쉽습니다. $$ \begin{align} E[X] & = \sum_{x}{x f(x)} = 0 \times q + 1 \times p\\ \\ & = p \\ \\ E[X^{2}] & = \sum_{x}{x^{2} f(x)} = 0^{2} \times q + 1^{2} \times p \\ \\ & = p \\ \\ V[X] & = E[X^{2}] - {\left( E[X] \right)}^{2} = p - p^{2} = p (1 - p)\\ \\ & = pq \end{align} $$

베르누이분포를 기반으로 이항분포 , 기하분포 , 음이항분포 등 여러가지 경우로 쪼개져 나갑니다.