음이항분포

II-eugene-II Note

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음이항분포

음이항분포 (Negative Binomial Distribution) 는 다음의 확률질량함수를 갖습니다.

$f(x) = \binom{x - 1}{r - 1} p^{r} q^{x - r}$ , $q = 1 - p$ , $x = r$ , $r + 1$ , $r + 2$ , $\cdots$

$\binom{x - 1}{r - 1}$ 는 이항계수 입니다.
성공 확률이

$p$ 인 베르누이실험 을 반복하여 정확히

$x$ 번째에

$r$ 번째로 성공할 확률에 대한 확률분포를 음이항분포라고 합니다. (

$x \geq r$ )
이항계수

$\binom{x - 1}{r - 1}$ 은 우선

$x - 1$ 번 시도중에 중에

$r - 1$ 번 성공하는 경우의 수,

$p^{r}$ 는

$r$ 번 성공하는 확률,

$q^{x - r}$ 는

$x - r$ 번 실패하는 확률 입니다. (

$x$ 번 중에

$r$ 번 성공했으니

$x - r$ 번은 실패)
음이항분포의 평균은

$E[X] = \frac{r}{p}$ , 분산은

$V[X] = \frac{r q}{p^{2}}$ 입니다.

~~음이항분포의 평균과 분산 증명~~

이항분포 는

$N$ 번 시도해서

$x$ 번 성공할 확률, 음이항분포는

$r$ 번째의 성공을 정확히

$x$ 번째 시도에 할 확률이라는 점에서 약간의 차이가 있습니다.