음이항분포
음이항분포 (Negative Binomial Distribution) 는 다음의 확률질량함수를 갖습니다.
$f(x) = \binom{x - 1}{r - 1} p^{r} q^{x - r}$, $q = 1 - p$, $x = r$, $r + 1$, $r + 2$, $\cdots$
$\binom{x - 1}{r - 1}$는 이항계수 입니다.
성공 확률이 $p$인 베르누이실험 을 반복하여 정확히 $x$번째에 $r$번째로 성공할 확률에 대한 확률분포를 음이항분포라고 합니다. ($x \geq r$)
이항계수 $\binom{x - 1}{r - 1}$은 우선 $x - 1$번 시도중에 중에 $r - 1$번 성공하는 경우의 수, $p^{r}$는 $r$번 성공하는 확률, $q^{x - r}$는 $x - r$번 실패하는 확률 입니다. ($x$번 중에 $r$번 성공했으니 $x - r$번은 실패)
음이항분포의 평균은 $E[X] = \frac{r}{p}$, 분산은 $V[X] = \frac{r q}{p^{2}}$입니다.
음이항분포의 평균과 분산 증명