$x$에 대한 삼차방정식 $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$의 근을 구하는 공식은 다음과 같습니다.
$$ x_{0} = \omega^{0} \sqrt[3]{- {q \over 2} + \sqrt{\left({q \over 2}\right)^2 + \left({p \over 3}\right)^3}} + \omega^{0} \sqrt[3]{- {q \over 2} - \sqrt{\left({q \over 2}\right)^2 + \left({p \over 3}\right)^{3}}} - \frac{b}{3a} \\ x_{1} = \omega^{1} \sqrt[3]{- {q \over 2} + \sqrt{\left({q \over 2}\right)^2 + \left({p \over 3}\right)^3}} + \omega^{2} \sqrt[3]{- {q \over 2} - \sqrt{\left({q \over 2}\right)^2 + \left({p \over 3}\right)^{3}}} - \frac{b}{3a} \\ x_{2} = \omega^{2} \sqrt[3]{- {q \over 2} + \sqrt{\left({q \over 2}\right)^2 + \left({p \over 3}\right)^3}} + \omega^{1} \sqrt[3]{- {q \over 2} - \sqrt{\left({q \over 2}\right)^2 + \left({p \over 3}\right)^{3}}} - \frac{b}{3a} $$$\omega = \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}$이고, $i$는 허수 단위 $i$ 입니다.
$$ x_{0} = \omega^{0} \sqrt[3]{Q + \sqrt{Q^2 + P^3}} + \omega^{0} \sqrt[3]{Q - \sqrt{Q^2 + P^3}} - \frac{b}{3a} \\ x_{1} = \omega^{1} \sqrt[3]{Q + \sqrt{Q^2 + P^3}} + \omega^{2} \sqrt[3]{Q - \sqrt{Q^2 + P^3}} - \frac{b}{3a} \\ x_{2} = \omega^{2} \sqrt[3]{Q + \sqrt{Q^2 + P^3}} + \omega^{1} \sqrt[3]{Q - \sqrt{Q^2 + P^3}} - \frac{b}{3a} $$제곱근과 세제곱근의 방향은 $z = r e^{i \theta}$ ($-\pi \leq \theta < \pi$)일 때, $\sqrt{z} = r^{\frac{1}{2}} e^{i \theta/2}$, $\sqrt[3]{z} = r^{\frac{1}{3}} e^{i \theta/3}$로 계산해주면 됩니다. (즉, $\theta$는 편각으로 취합니다.)
과정 1. $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$를 $x^{3} + B x^{2} + C x + D = 0$로 바꿀 수 있음 보이기
$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$의 양변을 $a$로 나누어주면 $x^{3} + \frac{b}{a} x^{2} + \frac{c}{a} x + \frac{d}{a} = 0$이라 할 수 있다.
$x = \left( t - \frac{B}{3} \right)$대입
과정 1 증명
$B = \frac{b}{a}$, $C = \frac{c}{a}$, $D = \frac{d}{a}$라 할 수 있다.
과정 2 증명