1계 선형 비제차 미분방정식

1계 선형 비제차 미분방정식 (First Order Linear Non-Homogeneous Differential Equations) 은 다음과 같은 미분방정식입니다.

$$ \frac{dy}{dx} + p(x) y = q(x) $$

1계 선형 제차 미분방정식 과는 다르게 변수분리형 미분방정식 이 아니므로, 그냥 간단하게 풀 수는 없습니다.

풀이과정 1

$f(x) = e^{\int p(x)dx}$라 하면, $f '(x) = p(x) e^{\int p(x)dx} = p(x) f(x)$라 할 수 있다.
다음과 같은 식 $$ f(x) y = C + \int f(x) q(x) dx $$ ($C$는 상수) 의 양 변을 미분하면 $$ f'(x) y + f(x) \frac{dy}{dx} = f(x) q(x) $$ 이고, $f '(x) = p(x) f(x)$에서 $$ p(x) f(x) y + f(x) \frac{dy}{dx} = f(x) q(x) $$ 이다. 양변을 $f(x)$로 나누면 원하는 꼴인 $$ \frac{dy}{dx} + p(x) y = q(x) $$ 가 나오게 된다. 따라서 $$ f(x) y = C + \int f(x) q(x) dx $$ 에서 $$ y = \frac{C + \int f(x) q(x) dx}{f(x)} $$ 가 주어진 미분방정식의 해이다.
$f(x) = e^{\int p(x)dx}$를 이용해 식을 풀어주면, $$ y = C e^{- \int p(x)dx} + e^{- \int p(x)dx} \int e^{\int p(x)dx} q(x) dx $$ 이다.

사실 이런 풀이는 답을 알고 있다는 가정 하에서나 가능한 풀이입니다. $y$를 $x$에 대한 함수 $y(x)$로 생각하고, $e^{\int p(x)dx} y(x)$의 미분이 $e^{\int p(x)dx} y'(x) + p(x) e^{\int p(x)dx} y(x) = \{y'(x) + p(x) y(x)\} e^{\int p(x)dx}$인 점을 이용해, $y'(x) + p(x) y(x)$를 적분하기 위해 적분인자인 $e^{\int p(x)dx}$를 곱해준 것입니다.
1계 선형 미분방정식 의 일종입니다.

Homogeneous라는 말을 동차로 표기하는 경우도 있고 제차로 표기하는 경우도 있으나, Zill의 공학수학과 Kreyszig 공업수학 모두 번역으로 "제차"를 채택하여 제차로 표기합니다.