1계 선형 비제차 미분방정식 (First Order Linear Non-Homogeneous Differential Equations) 은 다음과 같은 미분방정식입니다.
$$ \frac{dy}{dx} + p(x) y = q(x) $$1계 선형 제차 미분방정식 과는 다르게 변수분리형 미분방정식 이 아니므로, 그냥 간단하게 풀 수는 없습니다.
함수 $f(x)$를
$$
f(x) = e^{\int p(x)dx}
$$
라 정의한다. 이때, $f '(x) = p(x) e^{\int p(x)dx} = p(x) f(x)$라 할 수 있다.
다음과 같은 식
$$
f(x) y = C + \int f(x) q(x) dx
$$
($C$는 상수) 의 양 변을 미분하면
$$
f'(x) y + f(x) \frac{dy}{dx} = f(x) q(x)
$$
이고, $f '(x) = p(x) f(x)$에서
$$
p(x) f(x) y + f(x) \frac{dy}{dx} = f(x) q(x)
$$
이다. 양변을 $f(x)$로 나누면 주어진 미분방정식인
$$
\frac{dy}{dx} + p(x) y = q(x)
$$
가 나오게 된다. 따라서
$$
f(x) y = C + \int f(x) q(x) dx
$$
에서
$$
y = \frac{C + \int f(x) q(x) dx}{f(x)}
$$
가 주어진 미분방정식의 해이다.
$f(x) = e^{\int p(x)dx}$를 이용해 식을 풀어주면,
$$
y = C e^{- \int p(x)dx} + e^{- \int p(x)dx} \int e^{\int p(x)dx} q(x) dx
$$
이다.
Ex 1. $$ \frac{dy}{dx} + y = x $$ 의 해는 $C e^{-x} + x - 1$이다.
$f(x) = e^{\int 1 dx} = e^{x + C_{1}}$, $q(x) = x$에서 $$ \begin{align} y & = \frac{C_{2} + \int f(x) q(x) dx}{f(x)} \\ & = \frac{C_{2} + \int x e^{x + C_{1}} dx}{e^{x + C_{1}}} \\ & = \frac{C_{2}e^{-C_{1}} + \int x e^{x} dx}{e^{x}} \\ & = \frac{C_{2}e^{-C_{1}} + \left((x - 1) e^{x} + C_{3}\right)}{e^{x}} \\ & = \frac{C + (x - 1) e^{x}}{e^{x}} \quad (C = C_{2}e^{-C_{1}} + C_{3}) \\ & = C e^{-x} + (x - 1) \end{align} $$ 가 주어진 미분방정식의 해이다.