페르마의 마지막 정리

II-eugene-II Note

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페르마의 마지막 정리

페르마의 마지막 정리 (Fermat’s Last Theorem) 는 다음과 같습니다.

$3$ 이상의 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a^{n} + b^{n} = c^{n}$ 인 양의 정수 $a$ , $b$ , $c$ 가 존재하지 않는다.

$n = 4$ 일 때는 무한 강하법을 이용하여 증명할 수 있고, 이에 따라서

$4$ 의 배수인 모든

$n$ 에 대해서도 자동으로 양의 정수

$a$ ,

$b$ ,

$c$ 가 존재하지 않음을 보일 수 있습니다.

~~$n = 4$ 일 때 FLT 증명~~

귀류법으로
우선 $a^{4} + b^{4} = c^{2}$ 인 세 정수 $a$ , $b$ , $c$ 가 있다고 치기
그 $a$ , $b$ , $c$ 로 더 작은 쌍 $d$ , $e$ , $f$ 를 만들 수 있음

n = 3일 때는 복소수까지 섞어서 증명해줄 수 있는데, n = 3, n = 4를 증명하면 FLT를 절반 증명하게 됩니다.
12k + 0, 12k + 3, 12k + 4, 12k + 6, 12k + 8, 12k + 9꼴의 수를 증명하여 12k + m꼴로 가능한 12가지 경우중 6가지를 증명하기 때문입니다.
이에 따라, 모든 소수

$p$ 에 대하여

$a^{p} + b^{p} = c^{p}$ 를 만족시키지 않음을 보이면 됩니다.
어떤 수

$n$ 에 대하여 하나하나씩 증명해나가다가, 1990년대에 앤드루 와일즈가 타원곡선 등을 이용한 (아주 복잡한) 증명을 보였습니다.
페르마가 마지막으로 남긴 정리가 아니라, 마지막까지 풀리지 않았던 정리라 마지막 정리입니다.