위상수학자의 사인함수

위상수학자의 사인함수 (Topologist’s Sine Curve) 는 다음과 같이 정의합니다.

$$ f(x) = \begin{cases} \sin \dfrac{1}{x}, & \textsf{if } x \neq 0 \\ 0, & \textsf{if } x = 0 \end{cases} $$

$\sin{x}$는 사인함수 입니다.
이 함수에 $x$를 곱한 함수는 연속이지만 0에서 미분 불가능하고, $x^{2}$을 곱하면 모든 실수 $x$에 대하여 미분가능하지만 도함수가 연속이 아닌(???) 상황이 벌어지는 반례 전문 함수입니다.