1. $2^{n} \pmod{p}$의 주기성 (모든 자연수 $n$에 대해 $2^{n} \equiv 2^{n + (p - 1)} \pmod{p}$이다.)
$2^{0} \equiv 1 \pmod{p}$은 자명하고, 페르마의 소정리 에 의해 $2^{p - 1} \equiv 1 \pmod{p}$ 이다.
따라서 $2^{1} \equiv 2^{p - 1 + 1} \pmod{p}$, $2^{2} \equiv 2^{p - 1 + 2} \pmod{p}$, ... $2^{k} \equiv 2^{p - 1 + k} \pmod{p}$ 이고, $2^{n} \pmod{p}$은 $p - 1$의 주기를 가진다.
(최소 주기가 아닐 수도 있다. $2^{3} \equiv 1 \pmod{7}$)

2. $X \equiv Y \pmod{n}$ 이면 $aX + c \equiv aY + c \pmod{n}$ (자명함)

A. $78557 \times 2^{0} + 1 \equiv 0 \pmod{3}$에서 $n \equiv 0 \pmod{2}$이면 $78557 \times 2^{n} + 1 \equiv 0 \pmod{3}$ (1, 2번 성질에 의해 $78557 \times 2^{n} + 1 \equiv 0 \pmod{3}$의 주기가 $2$)

B. $78557 \times 2^{1} + 1 \equiv 0 \pmod{5}$에서 $n \equiv 1 \pmod{4}$이면 $78557 \times 2^{n} + 1 \equiv 0 \pmod{5}$

C. $78557 \times 2^{1} + 1 \equiv 0 \pmod{7}$에서 $n \equiv 1 \pmod{6}$이면 $78557 \times 2^{n} + 1 \equiv 0 \pmod{7}$

D. $78557 \times 2^{11} + 1 \equiv 0 \pmod{13}$에서 $n \equiv 11 \pmod{12}$이면 $78557 \times 2^{n} + 1 \equiv 0 \pmod{13}$

E. $78557 \times 2^{15} + 1 \equiv 0 \pmod{19}$에서 $n \equiv 15 \pmod{18}$이면 $78557 \times 2^{n} + 1 \equiv 0 \pmod{19}$

F. $78557 \times 2^{27} + 1 \equiv 0 \pmod{37}$에서 $n \equiv 27 \pmod{36}$이면 $78557 \times 2^{n} + 1 \equiv 0 \pmod{37}$

G - 1. $78557 \times 2^{3} + 1 \equiv 0 \pmod{73}$에서 $n \equiv 3 \pmod{72}$이면 $78557 \times 2^{n} + 1 \equiv 0 \pmod{73}$

G - 2. $78557 \times 2^{39} + 1 \equiv 0 \pmod{73}$에서 $n \equiv 39 \pmod{72}$이면 $78557 \times 2^{n} + 1 \equiv 0 \pmod{73}$

G. $n \equiv 3 \pmod{72}$, $n \equiv 39 \pmod{72}$이면 $n \equiv 3 \pmod{36}$이다. $n \equiv 3 \pmod{36}$이면 $78557 \times 2^{n} + 1 \equiv 0 \pmod{73}$

다음은 $n = 36m + k (0 \leq k < 36)$이라 할 때, $k$의 값에 따른 표이다. ($k = 3$일 때 G이므로, "G"의 $n \equiv 3 \pmod{36}$ 의 경우에 해당된다는 뜻)