피사노 주기 (Pisano Period) 의 정의는 다음과 같습니다.
피보나치 수열 $F_{n}$에 대하여, $$ F_{k} \equiv 0 \pmod{m} $$ $$ F_{k + 1} \equiv 1 \pmod{m} $$ 이 되는 자연수 $k$의 최솟값을 "$m$에 대한 피사노 주기"라고 한다.조금 복잡한 정의인데 다시 풀어써보자면, 우선 $F_{0} \equiv 0 \pmod{m}$, $F_{1} \equiv 1 \pmod{m}$ 입니다.
0. 기본 전제 - "$m$에 대한 피사노 주기"를 $k(m)$으로 표현하기로 합니다. (몇몇 외국 자료에는 $\pi(m)$으로 표기하지만 아무래도 소수 계량 함수 와 겹치므로...)
증명의 스케치
1. $k(m) \leq m^{2} - 1$
1번 성질 증명
$( F_{k} \equiv 0 \pmod{m}$, $F_{k + 1} \equiv 1 \pmod{m} )$ = $(x, y)$라 두면 $x$, $y$는 동시에 $0$이 될 수 없음 보이기
k 값이 1씩 늘어나면 무조건 달라짐을 보이고, $(0, 1)$을 거치지 않는 사이클은 존재하지 않고, x가 0부터 m - 1 까지 m가지, y가 0부터 m - 1 까지 m가지, 0, 0을 빼고 최대 $m^2 - 1$가지 (비둘기집의 원리)
폴라드 로 처럼 로(p 같은 모양)으로 사이클이 생길 수 없음도 보이기. $(0, 1)$에서 시작했으니 언젠가 다시 돌아옴
3. $m_{1}$과 $m_{2}$가 서로소 이면, $k(m_{1} \, m_{2}) = k(m_{1}) \, k(m_{2})$
4. 소수 $p$에 대하여, $k(p^{n}) = p^{n - 1} \, k(p)$
5. 소수 $p$에 대하여, $p \equiv \pm 1 \pmod{5}$이면 $k(p)$는 $p - 1$의 약수이다.
6. 소수 $p$에 대하여, $p \equiv \pm 2 \pmod{5}$이면 $k(p)$는 $2(p + 1)$의 약수이다.
이상의 특징들을 이용하여 다음과 같은 성질들을 이끌어낼 수 있습니다.
7. $k(2^{n}) = 3 \times 2^{n-1}$
8. $k(5^{n}) = 4 \times 5^{n-1}$
9. $n \geq 3$ 일 때, $k(10^{n}) = 15 \times 10^{n-1}$
10. $k(m) = m$인 경우는 $m = 24 \times 5^{n}$꼴 일 때 뿐이다. ($n$은 음이 아닌 정수)