상극한 (Limit Superior) $\limsup\limits_{n \to \infty} x_{n}$은 다음과 같이 정의합니다.
$$ \limsup_{n \to \infty} x_{n} := \inf_{n \geq 0} \, \sup_{m \geq n} x_{m} = \inf \, \{ \, \sup \, \{ \, x_{m} : m \geq n \, \} : n \geq 0 \, \} $$$\sup A$는 상한 , $\inf A$는 하한 표기 입니다.
$$ \liminf_{n \to \infty} x_{n} := \sup_{n \geq 0} \, \inf_{m \geq n} x_{m} = \sup \, \{ \, \inf \, \{ \, x_{m} : m \geq n \, \} : n \geq 0 \, \} $$상극한은 "상한의 하한"의 극한, 하극한은 "하한의 상한"의 극한으로 볼 수 있습니다.