$$\begin{align} \left| x + y \right|^{2} & = \left( x + y \right)^{2} \\ & = x^{2} + y^{2} + 2xy \\ & \leq x^{2} + y^{2} + 2 |x| |y| \\ & = |x|^{2} + |y|^{2} + 2 |x| |y| \\ & = \left( |x| + |y| \right)^{2} \end{align}$$ 음이 아닌 두 실수 $A$, $B$에 대해 $A^{2} \leq B^{2}$이면 $A \leq B$이므로, $\left| x + y \right|^{2} \leq \left( |x| + |y| \right)^{2}$에서 $| x + y | \leq | x | + | y |$이다.