삼각 부등식 (Triangle Inequality) 는 다음과 같습니다.
임의의 두 실수 $x$, $y$에 대하여 $$ | x + y | \leq | x | + | y | $$$| x |$는 절댓값 함수 입니다.
$$
\begin{align}
\left| x + y \right|^{2} & = \left( x + y \right)^{2} \\
& = x^{2} + y^{2} + 2xy \\
& \leq x^{2} + y^{2} + 2 |x| |y| \\
& = |x|^{2} + |y|^{2} + 2 |x| |y| \\
& = \left( |x| + |y| \right)^{2}
\end{align}
$$
음이 아닌 두 실수 $A$, $B$에 대해 $A^{2} \leq B^{2}$이면 $A \leq B$이므로, $\left| x + y \right|^{2} \leq \left( |x| + |y| \right)^{2}$에서 $| x + y | \leq | x | + | y |$이다.