백준 11444번 해설

II-eugene-II Note

백준 11444번 - 피보나치 수 6

백준 11444번 문제 링크
문제 이름 : 피보나치 수 6
주 언어 : Python
태그 : 수학 / 분할 정복을 이용한 거듭제곱
solved.ac 등급 : Platinum V (2023/03/28 확인)

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문제 :

피보나치 수는 0과 1로 시작한다. 0번째 피보나치 수는 0이고, 1번째 피보나치 수는 1이다. 그 다음 2번째 부터는 바로 앞 두 피보나치 수의 합이 된다.
이를 식으로 써보면

$F_n = F_{n-1} + F_{n-2} (n ≥ 2)$ 가 된다.
n=17일때 까지 피보나치 수를 써보면 다음과 같다.
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597
n이 주어졌을 때, n번째 피보나치 수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력 :

첫째 줄에 n이 주어진다. n은 1,000,000,000,000,000,000보다 작거나 같은 자연수이다.

출력 :

첫째 줄에 0번째 피보나치 수의 제곱부터 n번째 피보나치 수의 제곱의 합을 1,000,000,007으로 나눈 나머지를 출력한다.

피보나치 수열 의 성질 (해당 노트에서 기본 성질 참고) 2번에서 $\left[ \begin{matrix} F_{n+1} & F_{n} \\ F_{n} & F_{n-1} \\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right]^{n}$ 이므로, 행렬의 빠른 거듭제곱을 이용해 문제를 풀 수 있습니다.
혹은 피보나치 수열의 성질에 따라 계산할 수도 있습니다. (성질 6번, 7번)
입력된 수 $n$ 에 대해서, $F_{n} \pmod{10^{9} + 7}$ 의 값을 구해줍니다.
성질 6번, 7번을 이용하면 재귀적으로 시간복잡도 $O(\lg n)$ 에 풀 수 있습니다.

	def fibo(n, p): # https://ii-eugene-ii.github.io/Post/Post01000/00019.html
	# (n번째 피보나치 수 mod p, n + 1번째 피보나치 수 mod p)를 return 하는 함수
	if n < 3: return [(0, 1), (1, 1), (1, 2)][n]
	Fk, Fk1 = fibo(n // 2, p)
	if n % 2 == 0:
	return (2 * Fk1 - Fk) * Fk % p, (pow(Fk, 2, p) + pow(Fk1, 2, p)) % p
	else:
	return (pow(Fk, 2, p) + pow(Fk1, 2, p)) % p, (2 * Fk + Fk1) * Fk1 % p

	N = int(input())

	print(fibo(N, pow(10, 9) + 7)[0])

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자매품으로 백준 11440번 - 피보나치 수의 제곱의 합 , 백준 11442번 - 홀수번째 피보나치 수의 합 , 백준 11443번 - 짝수번째 피보나치 수의 합 문제들이 있습니다.

-번째 푼 문제 (2022/--/--)