백준 11443번 문제 링크
문제 이름 : 짝수번째 피보나치 수의 합
주 언어 : Python
태그 : 수학 / 분할 정복을 이용한 거듭제곱
solved.ac 등급 : Gold II (2023/03/28 확인)
문제 보기
문제 :
피보나치 수는 0과 1로 시작한다. 0번째 피보나치 수는 0이고, 1번째 피보나치 수는 1이다. 그 다음 2번째 부터는 바로 앞 두 피보나치 수의 합이 된다.
이를 식으로 써보면 $F_n = F_{n-1} + F_{n-2} (n ≥ 2)$가 된다.
n=17일때 까지 피보나치 수를 써보면 다음과 같다.
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597
n이 주어졌을 때, 0번째 피보나치 수부터 n번째 피보나치 수 중에서 짝수번째 피보나치 수의 합을 구하는 프로그램을 작성하시오.
입력 :
첫째 줄에 n이 주어진다. n은 1,000,000,000,000,000,000보다 작거나 같은 자연수이다.
출력 :
첫째 줄에 0번째 피보나치 수부터 n번째 피보나치 수 중에서 짝수번째 피보나치 수의 합을 1,000,000,007으로 나눈 나머지를 출력한다.
피보나치 수열 의 성질 (해당 노트에서 기본 성질 참고) 11번에서 $\sum\limits_{k = 0}^{n} F_{2k} = F_{2n + 1} - 1$ 입니다.
또, 성질 2번에서 $$ \left[ \begin{matrix} F_{n+1} & F_{n} \\ F_{n} & F_{n-1} \\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right]^{n} $$ 이므로, 행렬의 빠른 거듭제곱을 이용해 문제를 풀 수 있습니다.
혹은 피보나치 수열의 성질에 따라 계산할 수도 있습니다. (성질 6번, 7번)
$2n$번 까지의 홀수번째 항의 합이 $F_{2n + 1} - 1$이므로, 입력된 수 $N$이 홀수라면 ($N$번째 피보나치 수) - 1, $N$이 짝수라면 ($N + 1$번째 피보나치 수) - 1을 출력하면 됩니다.
1을 빼줄 때 유의해주셔야 합니다. 그냥 피보나치 수 % $10^{9} + 7$의 값이 0인데 1을 추가로 빼버리면 답이 -1로 출력되어버리니, 꼭 -1까지 감싸고 추가로 모듈러 연산을 해주어야 합니다.
자매품으로 백준 11440번 - 피보나치 수의 제곱의 합 , 백준 11442번 - 홀수번째 피보나치 수의 합 , 백준 11444번 - 피보나치 수 6 문제들이 있습니다.
-번째 푼 문제 (2022/--/--)