프로젝트 오일러 363번 한국어판 링크
프로젝트 오일러 363번 원문 링크
문제 이름 : 베지어 곡선 / Bézier Curves
주 언어 : Python
문제 보기
문제 :
(베지어 곡선의 정의 부분 생략)
네 점 $P_{0} = (1,0)$, $P_{1} = (1, v)$, $P_{2} = (v, 1)$ 과 $P_{3} = (0,1)$로 정의되는 3차 베지어 곡선을 이용해 사분원에 유사하게 만들 수 있습니다
두 선분 $OP_0$, $OP_3$ 과 베지어 곡선이 이루는 영역의 면적이 (사분원의 면적인) $\frac{\pi}{4}$이 되도록 $v > 0$의 값을 정합니다.
이렇게 만든 베지어 곡선의 길이와 사분원의 길이는 몇 퍼센트나 차이납니까?
즉, $L$을 베지어 곡선의 길이라고 할 때, 다음 값을 계산하세요. $$ 100 \times \frac{L - \frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} $$ 답은 소수점 이하 10자리까지 반올림하여 제출하세요.
출력 :
답은 소수점 이하 10자리까지 반올림하여 제출하세요. (답이 0.12345678912면 0.1234567891을, 답이 0.1234567891445면 0.1234567892를)
프로젝트 오일러 자체 규정상 101번 문제부터는 답을 그대로 오픈할 수가 없습니다.
$f(x) = y$, $y = h(t)$에서 $\int f(x) dx = \int h(t) dx$이고, $x = g(t)$에서 $dx = g'(t)dt$이므로 $\int h(t) dx = \int h(t)g'(t)dt$입니다.
어떤 자연수 $n_{1}$, $n_{2}$, $n_{3}$, $n_{4}$에 대하여 $v = n_{1} - \sqrt{\frac{n_{2} - n_{3} \times \pi}{n_{4}}} = 0.5517...$이 나오신다면 잘 푸신게 맞습니다.
$\int \sqrt{ {x'(t)}^2 + {y'(t)}^2 }$로 풀어줍니다.
적분 안되는게 맞습니다.
저같은 경우에는 파이썬 Decimal 모듈 로 넉넉하게 50자리 정도의 계산을 했고,
소수점 10자리 중에 0은 5번 나오고, 마지막 숫자는 1입니다.
따라서 몇가지 힌트만을 드리고자 합니다.
(검색해보니 한국 웹에는 이 문제에 대한 어느 글도 안 나와 있어서...아무것도 없는 것 보다는 힌트나마 있는것이 맞지 않나 싶었습니다.)
0. $B(t) = (1-t)^3 P_0 + 3(1-t)^2 t P_1 + 3(1-t) t^2 P_2 + t^3 P_3$로 쓰고 나면, $B(t) = \{x(t), y(t)\}$꼴로 정리가 됩니다. $x(t)$와 $y(t)$는 $t$에 대한 다항식이 됩니다.
1. 곡선 $y = f(x)$가 $x = g(t)$, $y = h(t)$꼴의 매개변수꼴로 나타나져 있으면 $\int f(x) dx$는 어떻게 구해야 할까요?
1번 질문
따라서 $\int f(x) dx = \int h(t)g'(t)dt$ 입니다. (정적분 구간은 치환적분처럼 정하시면 됩니다.)
2번 질문
3번 질문
4번 질문
수치해석적으로 고등학교때 배우는 구분구적법으로 일일이 적분값을 쌓아가면 됩니다.
(더 좋은 테크닉이 있다면 그걸 쓰셔도 좋습니다.)
5번 질문
단순히 구분구적법으로 구간 100만개로 쪼개서 적분값을 구했습니다. (넉넉하게 50만개로 쪼개도 값은 나옵니다.)
더 좋은 테크닉으로는 훨씬 적은 구간으로도 구할 수 있을 수 있습니다.
추가 힌트
(이걸 만족하는 수가 826686개 있으니 일일이 대입한다는 생각보다는 계산결과를 검산할 때 사용하시기 바랍니다.)
1번째 푼 문제 (2022/12/22)