완전 미분방정식 (Exact Differential Equation) 은 다음과 같은 미분방정식입니다.
$M(x, y) dx + N(x, y) dy$가 어떤 함수 $f(x, y)$의 미분이면, $$ M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 $$ 을 완전 미분방정식 이라 하고, $M(x, y) dx + N(x, y) dy$는 완전 미분 (Exact Differential)이라 한다.꼭 같이 따라다니는 개념으로, 완전 미분인지를 판별하는 것이 있습니다.
$M(x, y) dx + N(x, y) dy$이 완전 미분이면 $$ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $$ 가 성립한다. (역도 성립한다. 즉, 필요충분조건이다.)복잡하게 써놓았지만 함수 $M$을 $y$에 대해 미분하고 함수 $N$을 $x$에 대해 미분한 것이 동일하다면 $M(x, y) dx + N(x, y) dy$가 완전 미분이라는 뜻입니다.
1. 함수 $F$를 $F(x, y) = g(y) + \int M(x, y)dx$라 하면, $F$를 $x$에 대해 미분한 것이 $M(x, y)$인 것을 알 수 있다.
2. $F(x, y) = g(y) + \int M(x, y)dx$를 $y$에 대해 미분한 것이 $N(x, y)$가 되는 함수 $g(y)$를 찾는다.
3. $F(x, y)$의 미분이 $0$이므로, $F(x, y)$는 상수함수 $C$이다. $C = g(y) + \int M(x, y)dx$가 방정식의 해이다.
Ex 1.
$$ 2xy dx + \left(x^2 - 1\right)dy = 0 $$
Solution : $y = \frac{C}{x^2 - 1}$
Ex 1 풀이과정
$M(x, y) = 2xy$, $N(x, y) = x^2 - 1$이라 하자. $M$을 $y$에 대해 미분하면 $2x$, $N$을 $x$에 대해 미분하면 $2x$이므로 주어진 미분방정식은 완전 미분방정식이다.
$f(x, y) = g(y) + \int 2xy dx = g(y) + x^2 y + C$에서 $f(x, y)$를 $y$에 대해 미분해주면 $g'(y) + x^2$이고, 이는 $N(x, y) = x^2 - 1$과 동일해야하므로 $g'(y) = -1$이다. 따라서 $g(y) = -y + C$임을 알 수 있다.
$f(x, y) = -y + x^2 y + C$에서 $C = x^2 y - y = y (x^2 - 1)$이고, $y = \frac{C}{x^2 - 1}$이다.