이산확률분포 중에서, 다음과 같은 확률질량함수를 가지는 분포를 이산균등분포 (Discrete Uniform Distribution) 라고 합니다.
$$ f(x) = \frac{1}{n} $$ $(x = 1$, $2$, $\cdots$, $n - 1$, $n)$$1$부터 $6$까지 써진 정육면체 주사위의 각 면이 나올 확률이 $\frac{1}{6}$인 것이 이산균등분포의 한 예시입니다.
우선, 거듭제곱의 합에서 $\sum\limits_{k = 1}^{n}{k} = \frac{n (n + 1)}{2}$, $\sum\limits_{k = 1}^{n}{k^{2}} = \frac{n (n + 1)(2 n + 1)}{6}$임을 알고 있다면 평균과 분산은 다음과 같이 쉽게 구할 수 있습니다.
$$ \begin{align} E[X] & = \sum_{x = 1}^{n}{x f(x)} = \sum_{x = 1}^{n}{x\left( \frac{1}{n} \right)} = \frac{1}{n}\sum_{x = 1}^{n}{x} \\
\\
& = \frac{1}{n} \times \frac{n (n + 1)}{2} \\
\\
& = \frac{n + 1}{2} \\
\\
E[X^{2}] & = \sum_{x = 1}^{n}{x^{2} f(x)} = \sum_{x = 1}^{n}{x^{2} \left( \frac{1}{n} \right)} = \frac{1}{n}\sum_{x = 1}^{n}{x^{2}} \\
\\
& = \frac{1}{n} \times \frac{n (n + 1)(2 n + 1)}{6} \\
\\
& = \frac{(n + 1)(2 n + 1)}{6} \\
\\
V[X] & = E[X^{2}] - {\left( E[X] \right)}^{2} \\
\\
& = \frac{n^{2} - 1}{12} \end{align} $$